我们来研究一个连续的函数g(x)，假设：
我们以下面的函数为例进行研究，其空域和频域的形式如下：
\begin{gathered}g\left(x\right)=\exp\left(-a\left|x\right|\right)\\G\left(f_{x}\right)=\frac1a\frac2{1+\left(2\pi f_{x}/a\right)^{2}}\end{gathered}
连续FT变换对的图像为（这里只显示了部分，空域只显示了[-1,1]，频域只显示了[-20,20]）：
对DFT来说，在计算过程中，与连续FT不同的有三个地方：
- 首先需要对g(x)进行离散采样（这里以\delta=0.0375为例子）
- 然后需要对g(x)的采样长度进行限制（这里以[-0.2,0.2]为例子）
- 在进行变换后，在频域，还需要对频域进行离散采样。
我们来一步步分析这些操作对信号的影响：
- 首先是对g(x)进行离散采样（这里以\delta=0.0375为例子）
g\left(x\right)\frac1\delta comb\left(\frac x\delta\right)\Leftrightarrow G\left(f_x\right)\otimes\mathrm{comb}\left(\delta f_x\right).
离散采样导致频域信号在频域中的周期性复制，这导致频域发生混叠，对高频成分影响较大。（图中的区间其实是很大很大的，只是仅仅显示了一小部分）
- 然后需要对g(x)的采样长度（采样数）进行限制（这里以[-0.2,0.2]为例子）
g\left(x\right)\frac1\delta comb \left(\frac x\delta\right)\text{rect}\left(\frac xL\right)\Leftrightarrow G\left(f_x\right)\otimes\text{comb}\left(\delta f_x\right)\otimes\left[L\text{ sinc}\left(Lf_x\right)\right].
该操作，导致频域卷积一个sinc函数，导致信号的起伏和模糊。
在进行变换后，在频域，还需要对频域进行离散采样。
\widetilde{g}\left(x\right)=\left[g\left(x\right)\frac{1}{\delta}\cosh\left(\frac{x}{\delta}\right)\mathrm{rect}\left(\frac{x}{L}\right)\right]\otimes\left[\frac{1}{L}\cosh\left(\frac{x}{L}\right)\right]
\widetilde{G}\left(f_x\right)=\left[G\left(f_x\right)\otimes\operatorname{comb}\left(\delta f_x\right)\otimes L\operatorname{sinc}\left(Lf_x\right)\right]\times\operatorname{comb}\left(Lf_x\right).
这虽然是对频域的操作，但是同样也会影响空域的解析解
该采样结果导致，空域的信号，在空域中虚拟的赋值，虚拟是因为周期性赋值的区域中，并没有真正的样本。
需要说明一点，这里的频域的采样数是无限多的，实际上，如果考虑IFT的话，我们应该该对频域乘上一个矩形函数，来限制采样数，这样的话，对空域的影响和前面类似，都是一个sinc函数对原空域函数进行了卷积，导致空域信号产生起伏和模糊。
但是真正应该输出的，应该为：
